par Yves Dorion

« … De là on conclut avec évidence pourquoi l’arithmétique et la géométrie se montrent beaucoup plus certaines que les autres disciplines : c’est parce que seules elles se tournent vers un objet pur et simple à tel point qu’elles ne se soumettent absolument rien que l’expérience aurait rendu incertain, et qu’on les compose tout entières en déduisant des conséquences par le raisonnement. Elles sont donc de toutes les plus faciles et les plus transparentes, et elles ont un objet de la qualité que nous recherchons, puisqu’il y semble à peine humain de se tromper, si ce n’est par distraction. On ne doit cependant pas s’étonner que spontanément beaucoup tournent leur esprit plutôt vers d’autres matières ou vers la philosophie : cela arrive en effet parce que chacun se donne la liberté de vaticiner plus complaisamment dans un objet obscur que dans un objet évident, et qu’il est beaucoup plus facile de soupçonner quelque chose de n’importe quelle question que de parvenir à la vérité elle-même sur une seule, si facile qu’elle soit. De tout cela on doit pourtant pas conclure qu’il ne faut apprendre que l’arithmétique et la géométrie, mais plutôt que ceux qui cherchent le droit chemin de la vérité ne doivent s’occuper d’aucun objet, dont ils ne puissent avoir une certitude égale aux démonstrations de l’arithmétique et de la géométrie. « 

Règles pour la direction de l’esprit, II

EXPLICATION

Par quelle porte faut-il entrer dans la recherche de la vérité ? L’attention de celui qui est désireux de se former une science se porterait bien en vain sur des questions dans lesquelles il est impossible d’atteindre aucune certitude. Or des deux portes qui sont ouvertes celle de l’expérience interdit la certitude, que seule donne l’autre, celle du raisonnement. C’est pourquoi il faut que celui qui aime la vérité choisisse son objet de telle manière qu’il puisse par la voie des démonstrations en atteindre une connaissance aussi certaine que celle qu’il tire de l’arithmétique et de la géométrie. Il faut d’abord réfléchir à ce qui fait la supériorité de l’arithmétique et de la géométrie sur les autres disciplines : c’est la pureté et la simplicité de leur objet. Elles sont telles que seule la distraction peut faire que l’on y commette des erreurs.
Si l’on ne prenait en compte que les qualités de leur objet on pourrait légitimement s’étonner de ce que les hommes s’en détournent. Mais il leur coûte moins de peine de lire dans le marc de café que de procéder à des démonstrations.
Qu’on ne se méprenne pas cependant sur la finalité de cette réflexion : son but ne peut être de reconnaître une exclusivité aux dites sciences, mais plutôt d’ériger leur objet en modèle, afin que les autres sciences cherchent elles aussi la pureté et la simplicité.

On fait aisément le constat d’une différence éclatante entre les connaissances établies dans l’arithmétique et la géométrie et celles qui sont obtenues par ailleurs. Les premières seules enferment une certitude. Descartes fera dans le Discours de la méthode (première partie) la critique de tout ce qui lui avait été enseigné, et il n’aura d’égards que pour les « mathématiques, à cause de la certitude et de l’évidence de leurs raisons ». La différence entre celles-ci et les autres sciences fait déjà en 1628 l’objet de ce passage, conclusion de la Règle II. La certitude des mathématiques leur vient de ce qu’elles ont totalement mis à l’écart toute connaissance qui pourrait être fondée sur l’expérience. L’expérience fait obstacle à la certitude. A une connaissance empirique en effet on ne peut reconnaître aucune nécessité, ni par suite aucune universalité. De ce que j’ai vu souvent, voire toujours, que a précède b, il ne s’ensuit pas que je puisse légitimement penser que a doive précéder b et que cela soit certain. Là où l’expérience intervient dans les fondements d’une connaissance, elle la rend incertaine. N’est certaine qu’une connaissance pure de toute expérience, une connaissance qui ne lui doit absolument rien. Or seules les mathématiques sont capables d’une totale indépendance à l’égard de l’expérience, seules elles en sont absolument pures. Leur principe est en effet, non pas le recours aux informations qui viennent des sens, mais la déduction. Or celle-ci n’ajoute elle-même rien aux propositions précédentes, mais elle les agence seulement de telle sorte qu’elle en fait apercevoir à la raison le sens et la portée, autrement dit les conséquences logiques. La déduction n’est rien d’autre qu’un raisonnement. C’est à dire que pour passer d’une proposition à une autre il faut en donner une raison, ce qui est tout autre chose qu’une constatation. Ainsi, si je veux affirmer que la somme des angles du triangle est égale à deux droits, il ne me sert à rien de rappeler tous les triangles que j’ai rencontrés et dont les angles formaient une somme qui était effectivement à chaque fois égale à deux droits. Il faut au contraire que je montre quelle est la raison de ce que j’ai toujours constaté. Elle se trouve dans une proposition antérieurement admise, en l’occurrence celle par laquelle j’ai défini le triangle comme l’intersection de trois droites (sur une surface plane). De cette définition il découle en effet que, réunis par le sommet lorsque les trois droites ont une intersection commune, les trois angles ne forment plus qu’une droite. Que la somme des angles est égale à deux droits est une proposition déduite par le raisonnement.
Il s’ensuit que si l’expérience n’en est pas le fondement, elle ne peut non plus rien contre elle. Il est vain de croire qu’un théorème pourrait être contredit par un cas inopiné. Cette connaissance est certaine, l’esprit peut s’y attacher sans le plus petit doute, sans la moindre possibilité de la nier. Il le peut parce qu’elle n’est rien d’autre que son œuvre propre, dans laquelle n’entre rien qui vienne des sens. Dire que l’arithmétique et la géométrie sont beaucoup plus certaines que les autres sciences, ce n’est donc pas seulement mesurer un degré de certitude plus élevé en elles qu’il ne le serait ailleurs. En fait la certitude ne se partage pas, on ne saurait être un peu certain : on l’est ou on ne l’est pas. L’arithmétique et la géométrie autorisent la certitude, les autres sciences (sont-elles encore susceptibles d’être dites des sciences ?) ne l’autorisent pas. Elles ne sont que le royaume du probable. Les mathématiques seules sont le royaume du certain.

Cependant leur certitude n’a pas la pureté pour unique fondement. La certitude a deux conditions. Outre la pureté elle exige la simplicité. Les mathématiques sont simples. Leur objet ne consiste pas dans des choses telles que le monde ou l’homme lui-même, objets complexes dans lesquels on ne sait comment ordonner les propositions afin qu’il soit possible d’y faire des déductions. Comment peut-on être certain que demain le trône du plus puissant roi de la terre ne s’écroulera pas, comme fit celui de Monsieur le père de la princesse Elisabeth ? Comment peut-on être certain que demain la vie de Monsieur Descartes ne s’arrêtera pas, comme elle fit, pour un rhume, à Stockholm ? Nous sommes peu de chose, certes. Mais nous aimerions néanmoins avoir quelques certitudes en ces matières. Or nous ne les avons pas. Et la raison pour laquelle nous ne les avons pas, est qu’elles sont trop complexes pour être déduites, trop emmêlées pour être calculées en quelque sorte.
Au contraire les objets que se donnent les mathématiques, droites, cercles, triangles, etc. sont tellement simples qu’on y voit bien comment il y faut ordonner les propositions pour y faire des démonstrations, pour tirer de nouvelles propositions de celles qui ont été précédemment admises. Il faut penser dans l’ordre, comme le fit Euclide, la droite, l’intersection, l’angle, la parallèle, l’équidistance, le rayon, le cercle, etc. A partir de quoi toujours par le seul moyen de la déduction on peut arriver à démontrer des propositions qui étaient d’abord impénétrables. En suivant les conséquences le raisonnement peut établir, d’une manière totalement indépendante de l’expérience et avec une pleine certitude, ce que l’expérience aurait rendu incertain. La certitude qu’atteint l’esprit dans les mathématiques est entièrement liée au caractère de leur objet, qui est le plus facile et le plus évident (ou transparent : perspicuus). A l’évidence de l’objet répond la certitude de l’esprit dans sa connaissance. Lorsqu’au contraire l’objet est complexe, les rapports qui le définissent ne peuvent être transparents et, sauf déduction qui ramène le complexe au simple, l’esprit est contraint de s’en rapporter à l’expérience et de dire adieu à la certitude. L’objet mathématique est donc par excellence celui « dont notre esprit paraît capable d’acquérir une connaissance certaine et indubitable », comme le réclame le titre de la Règle II.
Grâce à un objet si pur et si simple il est presque impensable de se tromper. Ce n’est pas la complexité de l’objet qui peut expliquer l’erreur éventuelle, et c’est encore moins le caractère particulier de l’expérience, puisqu’on ne s’y fonde pas sur l’expérience. Cette erreur éventuelle n’a pas de cause dans l’objet, pas de cause objective, puisque en soi l’objet est simple, et pures les conditions dans lesquelles il est pris en considération. Ce ne peut être qu’une cause accidentelle au regard de l’objet, une cause subjective, qui fait que l’on se trompe : on ne le considère pas assez attentivement, on est distrait. Certes l’erreur est humaine, mais il ne serait pas juste d’incriminer ici la nature humaine, puisque l’arithmétique et la géométrie remédient à sa faiblesse en faisant le choix d’objets spécifiques. Non, celui qui se trompe ne peut s’en prendre qu’à lui-même. Comme le dira le Discours de la méthode (deuxième partie), il se trompe par prévention et précipitation. La simple comparaison de la facilité des mathématiques avec la difficulté des autres sciences pourrait donner à croire que les hommes portent prioritairement leurs recherches vers celles-là et ne se livrent à celles-ci que contraints et forcés. Il n’en est rien, loin de là ! et bien au contraire.

On est contraint de reconnaître qu’entre la résolution d’un problème facile, qui ne laisse aucune place à la charlatanerie, et la divination dans une question que personne ne peut résoudre, les hommes ont la présomption de préférer la seconde. Le charme des « sciences » occultes quatre cents ans après Descartes est bien loin d’être épuisé. Tel se flattera de lire votre avenir dans les lignes de votre main, tel autre le trouvera dans les astres. Comme nul ne dispose du privilège de se tromper toujours, c’est toujours avec une ombre de vraisemblance que parle l’habile mystificateur. Hélas, il faut le dire aussi, ceux qui s’instituent philosophes ne le font pas avec plus de raison que les imposteurs qu’on vient d’évoquer. Le jugement de l’auteur sur cette discipline est peut-être affecté par les querelles théologiques des siècles du Moyen-âge, qui peuvent sembler bien vaines. Mais même si l’on ne se querelle plus sur le sexe des anges, il demeure qu’on ne peut trouver aucune opinion, si bizarre qu’elle soit, qui n’ait été soutenue par quelque philosophe. Si l’on juge de la valeur d’une connaissance à la certitude qu’elle donne, il est bien vrai que la philosophie ne peut être très loin de la dernière place !
De là on pourrait renvoyer le lecteur désireux d’atteindre la vérité aux raisonnements mathématiques. Mais à cela l’auteur ne trouverait pas son compte. Son désir ne serait pas comblé par la pleine connaissance du triangle ou du cercle. Ce qu’il veut connaître n’est rien de moins que l’ensemble de la réalité qui s’offre à chacun d’entre nous. Il lui faut trouver l’explication des phénomènes physiques (cf. la Dioptrique, les Météores), mais aussi, même s’il est dangereux de l’avouer, des faits politiques (dans les Lettres à Elisabeth le philosophe sera appelé à donner son avis sur l’œuvre de Machiavel). On ne peut ambitionner de trouver la vérité en ces matières qu’à la condition de suivre le droit chemin et celui-ci à son tour impose de pouvoir atteindre une certitude égale à celle des mathématiques, c’est à dire qu’il impose d’y établir des démonstrations.
Il faut donc pouvoir disposer en physique ou en politique de définitions d’objets très simples et très purs, il faut pouvoir en tirer démonstrativement des propositions initiales très transparentes, puis sur celles-ci se fonder pour en trouver d’autres plus difficiles, etc. Il faut donc pouvoir établir des sciences déductives, lesquelles seules méritent le nom de science, sur tous les objets. Il faut se mettre à l’écart de l’expérience et se fonder sur la démonstration, afin que tous les objets autorisent tous les espoirs à la recherche de la vérité, c’est à dire qu’il faut qu’ils présentent les qualités de pureté et de simplicité, qu’on peut reconnaître à ceux de l’arithmétique et de la géométrie. Sinon on aura des questions dans lesquelles ce n’est pas la vérité qu’on pourra atteindre, mais seulement des conjectures, des matières dans lesquelles ce n’est pas la méthode qui peut jouer, mais seulement la divination.

Descartes veut ériger les mathématiques en modèle. La certitude y est obtenue par le raisonnement déductif, celui-ci est l’alternative de l’expérience. Plusieurs questions à partir de là peuvent se poser.
1°/ On peut se demander dans quelle mesure la démarche des mathématiques est applicable en dehors d’elles. Cela pose la question du rapport des mathématiques à la réalité matérielle. Qu’est-ce qui peut rendre possible à la connaissance de la matière l’application du modèle mathématique ? Sans doute Descartes ne sait-il pas le justifier. Mais dans son œuvre la loi de la réfraction est un exemple éloquent de réussite dans une question de ce genre. Il est vrai que d’autres chapitres de sa physique sont des exemples de fiasco non moins éloquents. C’est que le raisonnement déductif se fourvoie s’il n’accepte le contrôle de l’expérience. Or Descartes raisonne, en respectant ses propres règles assurément, mais omet l’expérimentation.

2°/ Qu’en est-il par ailleurs de la pureté des mathématiques ? Est-il vrai qu’elles soient dénuées de tout fondement dans l’expérience ? Que l’on considère seulement le très fameux postulat par lequel Euclide affirme que par un point extérieur à une droite il passe à cette droite une parallèle et une seule. Qui donne à cette proposition le fondement que la démonstration ne lui donne pas ? C’est bien en se rapportant à une certaine expérience que le géomètre grec en décide. C’est aussi en se rapportant à une autre expérience que d’autres en décident autrement. L’objet des mathématiques n’est pas si pur qu’on veut bien le dire. Y a-t-il des mathématiques sans translation et rotation, qui ne sont que des abstractions du mouvement humain ? Ce qui fonde les mathématiques ce n’est pas un objet pur, qui n’existe pas, mais un objet épuré. 3° Est-il exact réciproquement qu’on ne puisse fonder sur l’expérience aucune certitude ? S’il est vrai que les connaissances fondées sur l’expérience ne peuvent prétendre à la certitude, faut-il pour autant les croire condamnées à la conjecture ? La méthode expérimentale ne saurait assurément atteindre la certitude, car il est tout à fait impossible d’y parvenir en se fondant sur autre chose qu’une déduction. Cependant les propositions des sciences de la nature sont bien vraies, dans les limites de l’expérience historiquement possible. C’est ainsi qu’est vraie la physique galiléenne : en restant dans les limites du système planétaire Galilée peut bien dire qu’il a son centre dans le soleil et non dans la terre. Pourvu qu’on sache qu’on est dans des limites historiquement définies, on a le droit d’énoncer comme vraies les propositions qui sont fondées sur l’expérience rigoureuse.

La voie que préscrivait Descartes à la recherche de la vérité est bien illusoire. Sa philosophie écarte l’expérience, quand il faudrait en faire la critique. Il serait cependant excessif de lui en tenir grief, car il est vrai aussi que presque deux cents ans plus tard une autre philosophie, celle de Kant, qui se donnera pour une critique, instruite de la physique, non seulement de Galilée, mais de Newton, ne fera pas mieux la critique de l’expérience.

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